Die Poincaré-Vermutung besagt, dass ein geometrisches Objekt, solange es kein Loch hat, zu einer
Kugel deformiert werden kann.
Und das gelte nicht nur im Fall einer zweidimensionalen Oberfläche im dreidimensionalen Raum,
sondern auch für eine dreidimensionale
Oberflöche im vierdimensionalen Raum.
Die dreidimensionale Sphäre ist die Oberfläche einer vierdimensionalen Sphäre (die zweidimensionale Sphäre,
an die wir gewöhnt sind, ist die Oberfläche einer dreidimensionalen Sphäre).
Die Poincaré-Vermutung gehört zu den bekanntesten, lange Zeit unbewiesenen mathematischen Sätzen,
und galt als eines der bedeutendsten ungelösten Probleme der Topologie, eines Teilgebiets der Mathematik.
Vielleicht gibt es nicht nur einen mathematischen Beweis der Poincaré-Vermutung.
Wir schlagen eine topologische Version des Beweises der Poincaré-Vermutung vor.
Wenn wir alle sieben Punkte (±0; -y; -z; -x; +y; + z; +x) des Koordinatensystems (dreidimensionales Objekt)
miteinander durch Linien verbinden, dann können wir eine räumliche Struktur erhalten, in der die Entfernung
und Richtung der Vektoren (Linien) Veränderungen in physikalischen Größen bestimmen,
und die Zeit wird nur räumlichen Veränderungen in dieser Struktur entsprechen.
Wenn die Abstände zwischen den Punkten 1 Planck-Länge sind, dann liegen die sieben Punkte auf
der Kugel des Einheitsradius, und dann entspricht diese Struktur dem dreidimensionalen Analogon der
7-Hypersphäre, wobei jeder Punkt einer bestimmten Richtung des Einheitsvektors entspricht (Abb.13).
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Abb.13: Koordinatensystem und dreidimensionalen Analogon der 7-Hypersphäre
In diesem Fall ist Raum-Zeit ein «elastisches» physikalisches Objekt, das sich dehnen oder
zusammenziehen kann.
Sieben Punkte des Koordinatensystems können im Raum in Form einer geometrischen Struktur
angeordnet werden, die als Czaszar-Polyedron bekannt ist (Abb. 14).
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Abb. 14: Das Czaszar-Polyedron, Graph K7 und Torus.
Im dreidimensionalen Raum entspricht dieser Vorgang dem «ausziehen» des Punktes «0»
aus dem Koordinatensystem.
Das Polyederskelett ist ein vollständiger Graph K7, der eine zweidimensionale Projektion
des Polyeders ist.
Das Czaszar-Polyedron wird in einen Torus umgewandelt.
Dann würden die sieben Punkte ( (-y; -z; -x; +y; + z; +x und 0) auf der Ebene des Torus
als sieben Flächen dargestellt werden können.
Poincaré verallgemeinerte diese Formel für einen N-dimensionalen Polyeder.
Jeder Punkt des dreidimensionalen Raums, den wir beobachten, ist ein topologischer
Toroid, der aus sieben Punkten des Koordinatensystems besteht.
Das Koordinatensystem, die 7-Hypersphäre, das Czaszar-Polyedron und die
7-dimensionale Hypertower können als kongruente Formen betrachtet werden.
Die Projektion dieser topologischen Strukturen auf die Ebene ist der Graph K7.
Der Raum des Torus kann als ein dreidimensionales Analogon der Form des
Universums betrachtet werden.
Der Satz von Poincaré ü:ber ein Vektorfeld ist ein klassisches Theorem
der Differentialtopologie und der Theorie der dynamischen Systeme.
Daraus folgt insbesondere, dass es kein glattes Vektorfeld auf der zweidimensionalen Kugel
ohne singuläre Punkte gibt, und es auf einem zweidimensionalen Torus existieren kann.
Wenn sieben Punkte des Koordinatensystems Gleichgewichtspunkte sind, dann ist die Form
des Universums eine 7-dimensionale Hypersphäre oder ein 7-dimensionaler Hypertorus.
Der Torus mit der ausgeschnittenen Kreisscheibe («punktiert») kann kontinuierlich
umgestülpt werden (topologisch, d.h. eine Reihe von Diffeomorphismen).
In diesem Fall werden zwei Radien («Parallel» und «Meridian») senkrecht zum
Kreis gekreuzt.
In der Mathematik ist ein punktierter Torus eine Fläche, die man aus dem Torus durch
Herausnehmen eines Punktes äquivalent einer Kreisscheibe erhält.
Die Inversion des Torus kann als Ergebnis der Änderung der Koordinatenrichtung von
dem Gleichgewichtspunkt (negative Krümmung) zu dem Gleichgewichtspunkt (positive
Krümmung) im Koordinatensystem dargestellt werden.
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